勾股定理指的是如果直角三角形的兩條直角邊長分別為 a、b,斜邊長為 c,那么 a2 + b2 = c2。即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
在應用中,勾股定理建立起了“數”與“形”的完美結合,可以解與直角三角形有關的計算問題,證明含有平方關系的幾何問題,作長為(n 為正整數)的線段,解決實際應用問題以及最短問題、折疊問題等。
解決折疊問題時,要巧用軸對稱及全等的性質解答折疊中的變化規律。利用勾股定理解答折疊問題一般步驟為:運用折疊圖形的性質找出相等的線段或角;在圖形中找到一個直角三角形,然后設圖形中某一線段的長為 x,將此直角三角形的三邊長用數或含有 x 的代數式表示出來;利用勾股定理列方程求出 x;進行相關計算解決問題。
在求最短距離的問題時,有通過計算比較解最短問題;對于平面圖形,將分散的條件通過幾何變換(平移或軸對稱)進行集中,然后借助勾股定理解決;對于立體圖形,將立體圖形展開為平面圖形,在平面圖形中將路程轉化為兩點間的距離,然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離),包括圓錐、正方體、長方體中的最短問題。
此外,勾股定理的驗證是通過拼圖法,即圖形割補來完成的,探索的關鍵是要找面積相等,通過面積之間的相等關系,將“形”的問題轉化為“數”的問題。
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