初二數(shù)學(xué)中,線段是重要的幾何概念。
線段是軸對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸,一條是線段自身所在的直線,另一條是線段的垂直平分線。線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,其性質(zhì)的證明可通過(guò)三角形全等來(lái)實(shí)現(xiàn)。與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上,其判定也是通過(guò)三角形判定來(lái)證明。用尺規(guī)作圖法可以畫出線段的垂直平分線。
在幾何證明中,與線段有關(guān)的證明是重點(diǎn)內(nèi)容之一,包括線段相等關(guān)系、不等關(guān)系、和差倍分關(guān)系、平方關(guān)系等。證明線段相等可通過(guò)中垂線、角平分線、三角形全等、等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理、導(dǎo)比例等方法實(shí)現(xiàn)。線段不等關(guān)系常用三角形三邊關(guān)系證明,線段平方關(guān)系通常用射影定理、勾股定理、切割線定理以及中線長(zhǎng)定理等處理。
此外,還有涉及線段的路徑最短問(wèn)題,運(yùn)用軸對(duì)稱將分散的線段集中到兩點(diǎn)之間,從而運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)實(shí)現(xiàn)最短路徑的求解。比如在將軍飲馬問(wèn)題中,常需要考慮如何找到使線段之和最短的點(diǎn)。在求解線段之間的數(shù)量關(guān)系時(shí),需要根據(jù)已知條件和幾何模型,通過(guò)標(biāo)注等角、倍角、相關(guān)角和已知角,等線段、比例線段、相關(guān)線段和已知線段,設(shè)元,計(jì)算,列等式,消元等方法構(gòu)造幾何模型來(lái)解決。
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