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大衍求一術例題講解

2025年06月16日 00:42

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以下為您講解大衍求一術的例題：
例如，一個數除以 3 余數是 2，除以 5 余數是 3，除以 7 余數是 2，求這個數最小是多少？解題步驟如下： 1. 先找到 5 和 7 的公倍數中除以 3 余 1 的最小數：70 。 2. 再找到 3 和 7 的公倍數中除以 5 余 1 的最小數：21 。 3. 最后找到 3 和 5 的公倍數中除以 7 余 1 的最小數：15 。然后用上述三個數字分別乘對應的余數，再相加。具體為： 1. 70 是除以 3 余 1 的數，題中要求除以 3 余 2，所以拿 70 去乘 2 。 2. 21 是除以 5 余 1 的數，題中要求除以 5 余 3，所以拿 21 乘 3 。 3. 15 是除以 7 余 1 的數，題中要求除以 7 是 2，所以拿 15 乘 2 。計算可得：70×2 + 21×3 + 15×2 = 233 。之后用得到的數依次減去 3、5、7 的最小公倍數，直至得到合適的最小數。233 - 105 = 128，128 - 105 = 23 。23 就是本題的正解。再如，一個自然數除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 5 余 3，求這個數最小是多少？解題時，先找到 3 和 5 的公倍數中除以 2 余 1 的最小數：15 ；再找到 2 和 5 的公倍數中除以 3 余 1 的最小數：10 ；最后找到 2 和 3 的公倍數中除以 5 余 1 的最小數：6 。計算 15×1 + 10×2 + 6×3 = 53 ，[2,3,5] = 30 ，53 - 30 = 23 。或者，考慮到數字較小，也可以采用枚舉法。

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