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大學數學如何證明根號2是無理數

2025年06月12日 17:18

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證明根號 2 是無理數常見的方法有以下幾種：
一種方法是假設√2 是有理數，即√2 = p/q（其中 p 和 q 都是整數，并且 p 與 q 的最大公約數為 1）。將兩邊平方后轉化為：p^2 = 2q^2。然后通過對 p 和 q 的奇偶性分析得出矛盾。另一種方法是假設√2 是有理數，顯然√2＞0，則√2 = p/q，p、q∈N*，且(p,q)=1。p=(√2)q，p^2=[(√2)q]^2 = 2q^2。因為 p^2 為偶數，所以 p 為偶數，設 p = 2m。則 2q^2 = p^2 = (2m)^2 = 4m^2，所以 q^2 = 2m^2，進而得出 q 也為偶數。p 和 q 均為偶數，這與(p,q)=1 矛盾。還有一種方法是從幾何角度證明。假設存在等腰直角三角形，其兩條直角邊為整數 m 和 n，根據勾股定理 m2 + m2 = n2，即 2m2 = n2，得出√2 = n / m。然后通過將面積為 m2 的兩個較小正方形擬合為面積為 n2 的較大正方形，發現重疊區域和省略區域的面積關系產生矛盾，從而證明不存在這樣的整數 m 和 n，所以√2 是無理數。點擊前往免費閱讀更多精彩小說

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