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聚點數學應用題

2025年06月13日 01:01

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以下為您提供一道關于聚點的數學應用題示例：
已知數集{(-1)^n + 1/n}，要驗證其有且只有兩個聚點ξ? = -1，ξ? = 1。證明如下：記 S? = (-1)^n + 1/n。則當 k → ∞ 時，lim(k→∞)S?? = lim(k→∞)((-1)2? + 1/(2k)) = 1（為了描述方便，把數集記成點列 S? 的形式，其中偶數項形成的數列以 1 為極限）；lim(k→∞)S???? = lim(k→∞) ((-1)2??1 + 1/(2k - 1)) = -1（奇數項形成的數列以 -1 為極限）。由聚點的定義知，±1 是{S?}的聚點。接下來證明±1 是 S? 僅有的兩個聚點。設 ξ? 是不同于±1 的聚點，則取 ε? = 1/2 * min(|ξ? - 1|, |ξ? + 1|)，則存在 N = 1/ε? ，當 n = 2k > N 時，1 - ε? < (-1)^n + 1/n < 1 + ε?（即幾乎所有偶數項都在 U(1, ε?)）。點擊前往免費閱讀更多精彩小說

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