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數學歸納法的簡單推導

2025年05月27日 12:14

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數學歸納法是一種用于證明與自然數有關的命題的演繹推理方法。
其標準推理模式如下：首先，驗證命題 P(1)成立；然后，假設命題 P(n)成立；最后，驗證命題 P(n+1)成立，從而得出集合 A 上的命題 P 成立。例如，在證明自然數求和算式 1+2+…+k=(1/2)k(k+1) 對一切自然數 k 成立時，用 P(n)表示當 k=n 時算式成立。容易驗證 P(1)成立，假定 P(n)成立，計算 1+2+…+n+(n+1)=(1/2)n(n+1)+(n+1)=(n+1)(1+n/2)=(1/2)(n+1)(n+2)，即得到 P（n+1）的表達式，完成證明。為驗證數學歸納法本身的正確性，可采用反證法。假定該方法不正確，即存在一些自然數使命題 P 不成立，令 m 是使命題 P(m)不成立的最小自然數。由于已驗證 P(1)成立，所以 m≥2，m - 1 是自然數。又因為 m 是使命題不成立的最小自然數，所以 P（m - 1）必然成立，這與證明程序矛盾，從而驗證了數學歸納法的正確性。點擊前往免費閱讀更多精彩小說

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