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度量空間數學概念

2025年06月14日 23:23

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度量空間在數學中是指一個集合，其中任意元素之間的距離是可定義的。亦稱距離空間，它是一類特殊的拓撲空間。弗雷歇于 1906 年定義了度量空間。度量空間是現代數學中的一種基本且重要的抽象空間，非常接近于歐幾里得空間，也是泛函分析的基礎之一。如果元素之間“結構/關系”是用“距離”描述的，則稱度量空間。定義了距離的空間也可稱為度量空間。在度量空間中，點列稱為柯西點列，是指對任意正實數 ε，都存在自然數 N，使得時有。每個柯西點列都收斂的度量空間叫做完備度量空間。度量空間 X 的任何子集 Y 配上原有的距離也成為度量空間，稱作 X 的子空間。在完備度量空間中可數多個稠密開子集的交仍是稠密集。度量空間具有許多良好性質，例如，它滿足第一可數公理，它是豪斯多夫空間、正規(guī)空間、仿緊空間。
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