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泛函分析數學基礎知識

2025年06月13日 17:53

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泛函分析是現代數學的一個分支，其基礎知識包括以下方面：
1. 度量（距離）：將集合中兩個元素映射為一個實數，且映射滿足“非負性”“對稱性”和“三角不等式”，這種映射稱為兩元素的“度量”或它們之間的“距離”。有度量（定義了距離）的集合稱為“度量空間”（距離空間）。 2. 極限：當一個集合（數列）中的點與某一定點的距離趨向于 0 時，稱這個定點是這個集合的極限，稱之為“極限點”。 3. 連續：在 A、B 兩個度量空間中，定義了某一種從 A 到 B 的映射（函數），當 A 中某一集合的點趨向于極限點時，映射于 B 中的點也趨向于極限點的映射，則稱這種映射在極限點處連續（函數連續）。若這種映射在度量空間中任意點都連續，稱它為連續映射（連續函數）。 4. Cauchy（柯西）序列：若在度量空間中的一個序列，存在一個序號 N，排在 N 之后的任意兩個點之間的距離小于一個任意小的正數，則稱這個序列為柯西序列。 5. 完備：若度量空間中的任意柯西列都收斂于此空間（極限點在空間內），則稱該度量空間是完備的。 6. 線性空間：稱某一集合為線性空間，若該集合中的元素滿足加法交換律、加法結合律、加法零元、加法負元、乘法結合律、乘法分配律、乘法單位元、乘法的零元。 7. 線性相關：存在一組不全為 0 的常數，使得集合中的若干個元素的線性組合為零向量，則稱這些元素線性相關。否則，稱為線性無關。 8. 子空間：集合 X 的子集也滿足線性空間的 8 條性質，則稱該子集為集合 X 的子空間。點擊前往免費閱讀更多精彩小說

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