高數函數極限的常見題型主要包括以下幾種:
1. 求分段函數的極限,當函數含絕對值符號時,可能需要分情況討論。當 x 趨近無窮且存在 e 的 x 次方時,要根據其正負無窮的不同結果分情況討論。
2. 對于極限中含變上下限積分的問題,需想辦法去掉積分符號。可通過求導解決,但要注意積分函數能否求導的問題,若題目未提及可導則直接求導錯誤。當被積分函數中同時含有 t 和 x 時,若 x 與 t 是相乘關系,可將 x 看作常數提出再求導;若 x 與 t 是除或加減關系,則需換元,同時積分上下限也要變化。
3. 求數列極限問題時,若夾逼或分項求和定積分方法不適用,可考慮 x 趨近時的函數值。對于遞推數列,首先判斷其極限存在是否使用單調有界定理,判斷單調性不能用導數定義,只能通過前后項比較,判斷是否有界可用歸納法,最后對 xn 與 xn+1 兩邊同時求極限得出結果。
4. 當極限已知而求未知數和未知函數時,主要運用等價無窮小或同階無窮小。例如當 x 趨近 0 時,f(x)比 x 的極限為 3,分子必須是無窮小,否則極限為無窮。此外,洛必達法則也可應用,當未知數有多個時,使用該法則可消掉某些未知數以求出其他未知數。
5. 涉及極限數列的證明題,需要構造新的函數,但具體方法較復雜。
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