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一部三冊的小說，任意排放在書架的同一層上，則各冊自左到右或自右到左恰好為第一，二，三冊的概率為？

2023年09月03日 03:59

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假設這部小說可以被排成 $n$ 冊那么每冊的位置可以表示為 $(i_1 i_2 i_3)$其中 $1 \le i_1 \le n$$1 \le i_2 \le n$$1 \le i_3 \le n$。
我們考慮將該小說排放在書架上的情況一共有 $C_n$ 種可能的排放方式。對于任意一種排放方式第一冊的位置可以是 $(1 1 \dots 1)$第二冊的位置可以是 $(i_1 i_2 \dots i_1)$第三冊的位置可以是 $(i_2 i_3 \dots i_2)$。對于任意一個可能的排放方式各冊自左到右或自右到左恰好為第一二三冊的概率分別為 $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$。因此總的概率為: $$ \begin{aligned} P &= \sum_{n=3}^4 \sum_{C_n=C_n(n)} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \\ &= \sum_{n=3}^4 \frac{1}{n^3} \\ &= \sum_{n=3}^4 \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{n} \\ &= \sum_{n=3}^4 \frac{1}{n} \\ &= 1 \end{aligned} $$ 因此這部小說任意排放在書架的同一層上各冊自左到右或自右到左恰好為第一二三冊的概率為 1。

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